Question

15．现有4名同学去参加校学生会活动，共有甲、乙两类活动可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪类活动，掷出点数为1或2的人去参加甲类活动，掷出点数大于2的人去参加乙类活动．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲类活动的概率；
（2）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙两类活动的人数．记ξ=|X-Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为$\frac{1}{3}$，去参加乙游戏的人数的概率为$\frac{2}{3}$．设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=${C}_{4}^{i}$（$\frac{1}{3}$）ⁱ（$\frac{2}{3}$）^4-i．由此能求出这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．
（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A₁与A₃互斥，A₀与A₄互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

解答 解：（1）依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为$\frac{1}{3}$，去参加乙游戏的人数的概率为$\frac{2}{3}$．
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=${C}_{4}^{i}$（$\frac{1}{3}$）ⁱ（$\frac{2}{3}$）^4-i．
∴这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{27}$．
（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A₁与A₃互斥，A₀与A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=$\frac{8}{27}$，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=$\frac{40}{81}$，
P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=$\frac{17}{81}$，
∴ξ的分布列是：

ξ	0	2	4
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{17}{81}$

数学期望Eξ=0×$\frac{8}{27}$+2×$\frac{40}{81}$+4×$\frac{17}{81}$=$\frac{148}{81}$．

点评 本题考查概率知识的求解，考查互斥事件的概率公式，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．