Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 利用（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再用夹角公式求解．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），∴$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$⇒$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}$．
$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值coc$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=$\frac{-\frac{1}{2}}{2×1}=-\frac{1}{4}$．
故答案为：-$\frac{1}{4}$

点评 考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算及计算公式