Question

18．如图，已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=120°．
（Ⅰ）若c=1，求△ABC面积的最大值；
（Ⅱ）若a=2b，求tanA．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理，基本不等式可得$ab≤\frac{1}{3}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅱ）由正弦定理得sinA=2sinB，利用三角形内角和定理可求B=60°-A，利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得a²+b²-2abcos120°=1，…（2分）
a²+b²+ab=1≥2ab+ab=3ab，当且仅当a=b时取等号；
解得$ab≤\frac{1}{3}$，…（4分）
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab≤\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，即f（x）面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．…（6分）
（Ⅱ）因为a=2b，由正弦定理得sinA=2sinB，…（8分）
又C=120°，故A+B=60°，
∴$sinA=2sin（60°-A）=\sqrt{3}cosA-sinA$，…（10分）
∴$\sqrt{3}cosA=2sinA$，
∴$tanA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．