Question

10．已知定义域为R的函数f（x）的图象经过点（1，1），且对?x∈R，都有f'（x）＞-2，则不等式$f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$的解集为（　　）

• A． （-∞，0）∪（0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，3）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 令F（x）=f（x）+2x，求出导函数F'（x）=f'（x）+2＞0，判断F（x）在定义域内单调递增，由f（1）=1，转化$f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$为$f（{log_2}|{3^x}-1|）+2{log_2}|{3^x}-1|＜3$，然后求解不等式即可．

解答 解：令F（x）=f（x）+2x，有F'（x）=f'（x）+2＞0，
所以F（x）在定义域内单调递增，由f（1）=1，得F（1）=f（1）+2=3，因为$f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$等价于$f（{log_2}|{3^x}-1|）+2{log_2}|{3^x}-1|＜3$，
令$t={log_2}|{3^x}-1|$，有f（t）+2t＜3，则有t＜1，即${log_2}|{3^x}-1|＜1$，
从而|3^x-1|＜2，解得x＜1，且x≠0．
故选：A．

点评 本题是考查导数在研究函数单调性上的应用．