Question

8．已知棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB₁截此球所得的截面的面积为（　　）

• A． $\frac{8π}{3}$
• B． $\frac{5π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 求出平面ACB₁截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB₁截此球所得的截面的面积．

解答 解：由题意，球心与B的距离为$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，B到平面ACB₁的距离为$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，球的半径为1，球心到平面ACB₁的距离为$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴平面ACB₁截此球所得的截面的圆的半径为$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
∴平面ACB₁截此球所得的截面的面积为$π•\frac{2}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
故选D．

点评 本题考查平面ACB₁截此球所得的截面的面积，考查学生的计算能力，属于中档题．