Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB为正三角形．AB⊥AD，CD⊥AD，点E、M为线段BC、AD的中点，F，G分别为线段PA，AE上一点，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）确定点G的位置，使得FG∥平面PCD；
（2）试问：直线CD上是否存在一点Q，使得平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，若存在，求DQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在AD上取AN=$\frac{1}{3}$AD，过N作NG∥DC，交AE于G，连结FG，FN，利用平面与平面平行的判定定理证明平面FNG∥平面PCD，推出FG∥平面PCD．
（2）作PO⊥AB于O，BA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，在平面ABCD内作AB的垂线为y轴，求出平面PAB的法向量，平面PMQ的法向量，利用平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，求解得λ推出CD的大小．

解答 解：（1）在AD上取AN=$\frac{1}{3}$AD，过N作NG∥DC，交AE于G，连结FG，FN，
∵PF=2FA．可得FA=$\frac{1}{3}$PA，所以FN∥PD，又NG∥DC，FN∩NG=N，PD∩DC=D，
可得平面FNG∥平面PCD，FG?平面FNG，所以FG∥平面PCD．
（2）作PO⊥AB于O，BA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，在平面ABCD内作AB的垂线为y轴，如图：平面PAB的法向量为：$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
A（1，0，0），Q（λ，2，0），M（1，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{MP}$=（-1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MQ}$=（λ-1，1，0），
设平面PMQ的法向量为：$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{MQ}=0}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{-x-y+\sqrt{3}z=0}\\{（λ-1）x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=1-λ，z=$\frac{2-λ}{\sqrt{3}}$，
平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，
可得：cos30°=$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{|1-λ|}{\sqrt{1+（1-λ）^{2}+（\frac{2-λ}{\sqrt{3}}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=3．
此时DQ=2在CD的延长线上，或DQ=$\frac{1}{3}$在CD线段上．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．