Question

12．如图，在边长是2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-EC-D大小的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）求出平面A₁EC的法向量和平面ECD的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-EC-D大小的余弦值．

解答 （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）以D为原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则E（2，1，0），A₁（2，0，2），C（0，2，0），F（1，1，1）…（2分）
所以$\overrightarrow{EF}=（-1，0，1）$，平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{DC}=（0，2，0）$，
因为$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DC}=-1×0+0×2+1×0=0$…（4分）
所以$\overrightarrow{EF}$∥平面ADD₁A₁
因为EF?平面ADD₁A₁
所以EF∥平面ADD₁A₁．…（6分）
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{{A_1}E}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{EC}=（-2，1，0）$
设平面A₁EC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}E}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}y-2z=0\\-2x+y=0\end{array}\right.$
令x=1，得y=2，z=1，于是$\overrightarrow n=（1，2，1）$…（8分）
因为平面ECD的法向量为$\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，2）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{D{D_1}}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{D{D_1}}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{D{D_1}}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{6}×2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（10分）
由图知二面角A₁-EC-D大小为锐角，
所以二面角A₁-EC-D大小的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．