Question

7．已知g（x）=mx+2，f（x）=x²-2x，若对?x₁∈[-1，2]．?x₀∈[-1，2]，有g（x₁）=f（x₀）成立，则m的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=x²-2x，g（x）=mx+2，对?x₁∈[-1，2]，?x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），可得函数g（x）=mx+2在区间[-1，2]上的值域是函数f（x）=x²-2x在区间[-1，2]上的值域的子集，由此可以构造关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x²-2x，
∴x₀∈[-1，2]，
∵f（x₀）∈[-1，3]
又∵?x₁∈[-1，2]，?x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），
若m＞0，则g（-1）≥-1，g（2）≤3
解得-$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
即0＜m≤$\frac{1}{2}$，
若m=0，则g（x）=2恒成立，满足条件；
若m＜0，则g（-1）≤3，g（2）≥-1
解各m≥-1
即-1≤m＜0
综上满足条件的m的取值范围是-1≤m≤$\frac{1}{2}$
故m的取值范围是[-1，$\frac{1}{2}$]
故答案为：[-1，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查的知识点是函数的值域，函数的定义域及其求法，二次函数的性质，其中根据已知条件对m进行分类讨论，是解答本题的关键．