Question

15．如图所示，已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆E交于A，B两点，当k=1时，椭圆E的右焦点到直线l的距离为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点A关于y轴的对称点为A'，试问：直线A'B是否恒过y轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，椭圆E的右焦点（c，0）到直线l：y=x+1的距离为$\sqrt{2}$，
列出方程，求出$a=2，b=\sqrt{3}$，即可得到椭圆E的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有A'（-x₁，y₁），将y=kx+1代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，利用韦达定理，求出直线A'B的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（{x+{x_1}}）$，通过x=0，得到y值，即可推出A'B恒过y轴上的一个定点．

解答 （普通中学做）解：（1）∵椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$．…（2分）
∵椭圆E的右焦点（c，0）到直线l：y=x+1的距离为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{|{c+1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，∴c=1．…（4分）
又a²=b²+c²，解得$a=2，b=\sqrt{3}$，故椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有A'（-x₁，y₁），
将y=kx+1代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0．…（8分）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{{3+4{k^2}}}$．…（10分）
直线A'B的方程为$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（{x+{x_1}}）$，
令x=0，得$y=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{{x_1}（{k{x_2}+1}）+{x_2}（{k{x_1}+1}）}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}}}{{{x_2}+{x_1}}}+1=\frac{{2k（{-\frac{8}{{3+4{k^2}}}}）}}{{-\frac{8k}{{3+4{k^2}}}}}+1=3$，
故A'B恒过y轴上的一个定点（0，3）．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，直线恒过定点，考查转化思想以及计算能力．