Question

6．如图，在四棱椎P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2，DA=PD=$\sqrt{3}$，E为BC的中点，连结AE，交BD于点O．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角D-PB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面PBD．
（Ⅱ）求出平面PBD的法向量和平面PBE的法向量，利用向量法能求出二面角D-PB-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），
C（0，2，0），
E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
D（0，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
$\overrightarrow{DP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DB}$=-$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}$+0=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DP}$=0，
∴AE⊥DB，AE⊥DP，
∵DB∩DP=D，∴AE⊥平面PBD．
解：（Ⅱ）∵AE⊥平面PBD，
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0）是平面PBD的法向量，
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，1$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{3}$），
设平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
设二面角D-PB-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3•2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
∴二面角D-PB-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．