Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$与抛物线y²=4x的交点为A，B，且直线AB过双曲线与抛物线的公共焦点F，则双曲线的实轴长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得c=1，利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立方程关系即可求出a．

解答 解：∵$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$与抛物线y²=4x，
∴c=1，
∵直线AB过两曲线的公共焦点F，
∴（1，2）为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上的一个点，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，
∵a²+b²=1，∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴2a=2$\sqrt{2}$-2．
故选：D．

点评 本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键．综合性较强，考查学生的计算能力．