Question

6．某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为x_n，y_n，如果点数满足x_n＜$\frac{6{y}_{n}}{{y}_{n}+6}$，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束．
（I）求第一轮闯关成功的概率；
（Ⅱ）如果第i轮闯关成功所获的奖金数f（i）=10000×$\frac{1}{{2}^{i}}$（单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率；
（Ⅲ）如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求x的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）枚举法列出所有满足条件的数对（x₁，y₁）即可，
（Ⅱ）由10000×$\frac{1}{{2}^{i}}$≤1250，得i≥3，由（Ⅰ）每轮过关的概率为$\frac{2}{9}$．某人闯关获得奖金不超过1250元的概率：P（i≥3）=1-P（i=1）-P（i=2）
（Ⅲ）设游戏第k轮后终止的概率为p_k（k=1，2，3，4），分别求出相应的概率，由能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ），当y₁=6时，x₁＜$\frac{36}{12}=3$，因此x₁=1，2；
当y₁=5时，x₁＜$\frac{30}{11}$，因此x₁=1，2；
当y₁=4时，x₁＜$\frac{24}{10}$，因此x₁=1，2；
当y₁=3时，x₁＜$\frac{18}{9}=2$，因此x₁=1；
当y₁=2时，x₁＜$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$因此x₁=1；
当y₁=1时，x₁＜$\frac{6}{7}$，因此x₁无值；
∴第一轮闯关成功的概率P（A）=$\frac{8}{6×6}=\frac{2}{9}$．
（Ⅱ）令金数f（i）=10000×$\frac{1}{{2}^{i}}$≤1250，则i≥3，
由（Ⅰ）每轮过关的概率为$\frac{2}{9}$．
某人闯关获得奖金不超过1250元的概率
：P（i≥3）=1-P（i=1）-P（i=2）=1-$\frac{2}{9}$-（1-$\frac{2}{9}$）×$\frac{2}{9}$=$\frac{49}{81}$
（Ⅲ）依题意X的可能取值为1，2，3，4
设游戏第k轮后终止的概率为p_k（k=1，2，3，4）
p₁=$\frac{2}{9}$．p₂=（1-$\frac{2}{9}$）×$\frac{2}{9}$=$\frac{14}{81}$，p₃=（1-$\frac{2}{9}$）²×$\frac{2}{9}$=$\frac{98}{729}$，p₄=1-p₁-p₂-p₃=$\frac{343}{729}$；
故X的分布列为

X	1	2	3	4
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{14}{81}$	$\frac{98}{729}$	$\frac{343}{729}$

因此EX=1×$\frac{2}{9}$+2×$\frac{14}{81}$+3×$\frac{98}{729}$+4×$\frac{343}{729}$=$\frac{2080}{729}$

点评 题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，独立重复试验的概率求解，是中档题，