Question

15．如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE⊥底面BCFE，DF∥AE，DF=AE=1，CE=$\sqrt{7}$，四边形ABCD是正方形．
（1）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由．
（2）求四面体EABC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，从而BC⊥AB，再上BC⊥面ABE，知BC⊥BE，从而得到四面体EABC是鳖臑．
（2）AE是三棱锥A-BCE的高，求出正方形ABCD的边长，由此能求出四面体EABC的体积．

解答 解：（1）∵AE⊥底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，
∴AE⊥EC，AE⊥EB，AE⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形有，∴BC⊥AB，
∴BC⊥面ABE，又BE?面ABE，∴BC⊥BE，
∴四面体EABC是鳖臑．
（2）由（1）得AE是三棱锥A-BCE的高，
设正方形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，EC=$\sqrt{7}$，
在Rt△BEC中，EC²=BE²+BC²，
即（$\sqrt{7}$）²=x²+x²-1，解得x=2，
∴${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴四面体EABC的体积${V}_{A-BCE}=\frac{1}{3}•AE•{S}_{△BCE}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四面体是否为鳖臑的判断，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．