Question

10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．设EF与BD交于点O，过点P作PH⊥BD，垂足为H．
（Ⅰ）求证：PH⊥底面BFDE；
（Ⅱ）若四棱锥P-BFDE的体积为12，求正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，从而平面PBD⊥平面BFDE，由此能证明PH⊥底面BFDE．
（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为x，推导出PO⊥PD，从而PH=$\frac{x}{3}$，由四棱锥P-BFDE的体积为12，求出正方形ABCD的边长为6．

解答 证明：（Ⅰ）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，
∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．
∴PD⊥PF，PD⊥PE，
∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．
∴PD⊥平面PEF．
又∵EF?平面PEF，
∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，
∴EF⊥平面PBD，
又EF?平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．
∵平面PBD∩平面BFDE=BD，过点P作PH⊥BD，垂足为H，
∴PH⊥底面BFDE．
解：（Ⅱ）设正方形ABCD的边长为x，
则PD=x，PE=PF=$\frac{1}{2}x$，DB=$\sqrt{2}x$，DE=DF=$\frac{\sqrt{5}}{2}x$，EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}x$，∠BPD=90°，
PO=$\sqrt{P{F}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{8}{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x，OD=$\sqrt{\frac{5}{4}{x}^{2}-\frac{1}{8}{x}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$x，
∴PO²+PD²=OD²，∴PO⊥PD，
∴$\frac{1}{2}×OD×PH=\frac{1}{2}×OP×PD$，
∴PH=$\frac{OP×PD}{OD}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}x}{4}×x}{\frac{3\sqrt{2}}{4}x}$=$\frac{x}{3}$，
∵四棱锥P-BFDE的体积为12，
∴V_P-BFDE=$\frac{1}{3}×{S}_{四边形BFDE}×PH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×EF×PH$=$\frac{1}{6}×\sqrt{2}x×\frac{\sqrt{2}}{2}x×\frac{x}{3}$=12，
解得x=6．
∴正方形ABCD的边长为6．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查正方形边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．