Question

16．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆C上，满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0，|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，|{\overrightarrow{P{F_2}}}|=\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设O为坐标原点，过椭圆C的左焦点F₁的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在常数t，使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}$为定值，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆定义得$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}=2a$，由$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}+|P{F}_{1}{|}^{2}$=|PF₂|²，得c=2，由此能求出椭圆方程．
（2）当直线L的斜率存在时，设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线L为y=k（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{5}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得$（\frac{1}{k^2}+5）{y^2}-\frac{4}{k}y-1=0$，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出结果．

解答 解：（1）$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}=2a$，得$a=\sqrt{5}$，
由$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}+|P{F}_{1}{|}^{2}$=|PF₂|²，得c=2，
由c²=a²-b²得b=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$；…..（4分）
（2）当直线L的斜率存在时，设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线L为y=k（x+2）
把y=k（x+2）代入$\frac{x^2}{5}+{y^2}=1$得：
$\begin{array}{l}（{1+5{k^2}}）{x^2}+20{k^2}x+20{k^2}-5=0\\{x_1}+{x_2}=\frac{{-20{k^2}}}{{1+5{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}\end{array}$…．（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ \frac{x^2}{5}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得$（\frac{1}{k^2}+5）{y^2}-\frac{4}{k}y-1=0$，${y_1}+{y_2}=\frac{4k}{{1+5{k^2}}}，{y_1}•{y_2}=\frac{{-{k^2}}}{{1+5{k^2}}}$，
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}•{x_2}+{y_1}•{y_2}=\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}+\frac{{-{k^2}}}{{1+5{k^2}}}=\frac{{19{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}$，
$\begin{array}{l}\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=（{{x_1}+2，{y_1}}）•（{{x_2}+2，{y_2}}）={x_1}•{x_2}+2（{{x_1}+{x_2}}）+4+{y_1}•{y_2}\\=\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}+2×\frac{{-20{k^2}}}{{1+5{k^2}}}+4+\frac{{-{k^2}}}{{1+5{k^2}}}=\frac{{-{k^2}-1}}{{1+5{k^2}}}\end{array}$
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=\frac{{19{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}+t×\frac{{-{k^2}-1}}{{1+5{k^2}}}=\frac{{（{19-t}）{k^2}+（{-5-t}）}}{{5{k^2}+1}}$…（8分）
当$\frac{19-t}{5}=\frac{-5-t}{1}$时，t=-11，此时$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=6$
即当t=-11时，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}$为定值6；，（10分）
当直线L的斜率不存在时，直线L为x=-2，则$M（-2，\frac{{\sqrt{5}}}{5}），N（-2，-\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$，
$则\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=\frac{19}{5}-\frac{t}{5}$
当t=-11时，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}$为定值6，
由上综合可知，当t=-11时，可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}$为定值6．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查是否存在常数t，使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}+t\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}$为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、向量知识的合理运用．