Question

8．已知函数f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²（a∈R）．
（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；
（2）若a=0，求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x₁，x₂，求证：$\frac{1}{ln{x}_{1}}$+$\frac{1}{ln{x}_{2}}$＞2ae．

Answer 1

分析 （1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，
（2）先求导函数，再分类讨论，利用导数即可求出函数的最值．
（3）函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x₁、x₂，即导函数g′（x）有两个不同的实数根x₁、x₂，对a进行分类讨论，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．

解答 解：（1）x＞0，恒有f（x）≤x成立，
∴xlnx-$\frac{a}{2}$x²≤x恒成立，
∴$\frac{a}{2}$≥$\frac{lnx-1}{x}$，
设g（x）=$\frac{lnx-1}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，
当g′（x）＞0时，即0＜x＜e²，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，即x＞e²，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（e²）=$\frac{ln{e}^{2}-1}{{e}^{2}}$=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴a≥$\frac{2}{{e}^{2}}$，
∴实数a的取值范围为[$\frac{2}{{e}^{2}}$，+∞）
（2）当a=0时，f（x）=xlnx，x＞0，
∴f′（x）=1+lnx，
当t＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）在[t，t+2]上单调递增，则f（x）_min=f（t）=tlnt，
当0＜t≤$\frac{1}{e}$时，令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在[t，$\frac{1}{e}$]上单调递减，在[$\frac{1}{e}$，t+2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
（3）g′（x）=f（x）′-1=lnx-ax，函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x₁、x₂，
即g′（x）=lnx-ax=0有两个不同的实根，
当a≤0时，g′（x）单调递增，g′（x）=0不可能有两个不同的实根；
当a＞0时，设h（x）=lnx-ax，
∴h′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
若0＜x＜$\frac{1}{a}$时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
若x＞$\frac{1}{a}$时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴h（$\frac{1}{a}$）=-lna-1＞0，
∴0＜a＜$\frac{1}{e}$．
不妨设x₂＞x₁＞0，
∵g′（x₁）=g′（x₂）=0，
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
先证$\frac{1}{ln{x}_{1}}$+$\frac{1}{ln{x}_{2}}$＞2，即证$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$，
即证ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}{2{x}_{2}{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，即证lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$）
设φ（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），则φ′（t）=$\frac{2t-{t}^{2}-1}{2{t}^{2}}$=$\frac{-（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0，
函数φ（t）在（1，+∞）上单调递减，
∴φ（t）＜φ（1）=0，
∴$\frac{1}{ln{x}_{1}}$+$\frac{1}{ln{x}_{2}}$＞2，
又∵0＜a＜$\frac{1}{e}$
∴ae＜1，
∴$\frac{1}{ln{x}_{1}}$+$\frac{1}{ln{x}_{2}}$＞2ae．

点评 本题考查了，利用导数求函数的最值，运用分类讨论，等价转化思想证明不等式．是一道导数综合题，难题较大．