Question

13．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{3}{2}$，a_n+1=3a_n-1（n∈N₊）．
（1）若数列{b_n}满足${b_n}={a_n}-\frac{1}{2}$，求证：{b_n}是等比数列；
（2）若数列{c_n}满足c_n=log₃a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求证：${T_n}＞\frac{n（n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用数列的递推关系式推出${a_{n+1}}-\frac{1}{2}=3（{a_n}-\frac{1}{2}）（n∈{N^*}）$，然后证明{b_n}是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）求出${b_n}={3^{n-1}}$，化简${a_n}={3^{n-1}}+\frac{1}{2}$，推出${c_n}={log_3}（{3^{n-1}}+\frac{1}{2}）＞{log_3}{3^{n-1}}=n-1$，然后通过数列求和，证明结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由题可知${a_{n+1}}-\frac{1}{2}=3（{a_n}-\frac{1}{2}）（n∈{N^*}）$，
从而有b_n+1=3b_n，${b_1}={a_1}-\frac{1}{2}=1$，
所以{b_n}是以1为首项，3为公比的等比数列．（6分）
（2）由（1）知${b_n}={3^{n-1}}$，
从而${a_n}={3^{n-1}}+\frac{1}{2}$，${c_n}={log_3}（{3^{n-1}}+\frac{1}{2}）＞{log_3}{3^{n-1}}=n-1$，
有${T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}＞0+1+2+…n-1=\frac{n（n-1）}{2}$，
所以${T_n}＞\frac{n（n-1）}{2}$．（12分）

点评 本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n项和有关的不等式．