Question

18．已知三棱锥A-BCD中，△ABC是等腰直角三角形，且AC⊥BC，BC=2，AD⊥平面BCD，AD=1．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）若E为AB中点，求点A到平面CED的距离．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥平面BCD，可得AD⊥BC，又AC⊥BC，可得BC⊥平面ACD，即可证明平面ABC⊥平面ACD．
（2）由已知可得$CD=\sqrt{3}$，取CD中点为F，连接EF，利用直角三角形斜边中线的性质可得：△ECD为等腰三角形，由（1）知BC⊥平面ACD，可得点E到平面ACD的距离为1，令A到平面CED的距离为d，则${V_{A-ECD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ECD}}•d={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•1$，解得d．

解答 （1）证明：∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AD⊥BC，
又∵AC⊥BC，AC∩AD=A，∴BC⊥平面ACD，BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD．（6分）
（2）解：由已知可得$CD=\sqrt{3}$，取CD中点为F，连接EF，
∵$ED=EC=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，∴△ECD为等腰三角形，
从而$EF=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，${S_{△ECD}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
由（1）知BC⊥平面ACD，∴点E到平面ACD的距离为1，${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
令A到平面CED的距离为d，则${V_{A-ECD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ECD}}•d={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}•{S_{△ACD}}•1$，解得$d=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．（12分）

点评 本题考查了线面面面垂直、求点到平面距离问题等，本题考查了学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．