Question

8．已知函数f（x）=|x+$\frac{2{a}^{2}+1}{a}$|+|x-a|（a＞0）
（Ⅰ）证明：f（x）≥2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可；（Ⅱ）将a的值代入，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，
∴f（x）=|x+$\frac{2{a}^{2}+1}{a}$|+|x-a|≥|x+2a+$\frac{1}{a}$-x+a|=3a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{3a•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当3a=$\frac{1}{a}$即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时”=“成立；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=|x+3|+|x-1|≥5，
x≥1时，x+3+x-1≥5，解得：x≥$\frac{3}{2}$，
-3＜x＜1时，x+3+1-x=4≥5，无解，
x≤-3时，-x-3-x+1=-2x-2≥5，解得：x≤-$\frac{7}{2}$，
故不等式的解集是{x|x≥$\frac{3}{2}$或x≤-$\frac{7}{2}$}．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．