Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，△ABF₁的周长为8，且△AF₁F₂的面积的最大时，△AF₁F₂为正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若是椭圆C经过原点的弦，MN∥AB，求证：$\frac{|MN{|}^{2}}{|AB|}$为定值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的定义，可得4a=8，解得a=2，再由椭圆的对称性可得a=2c，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线l的斜率不存在，求得方程和AB，MN的长，即可得到所求值；讨论直线l的斜率存在，设为y=k（x-1），联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，设MN的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得MN的长，即可得到所求定值．

解答 解：（1）由已知A，B在椭圆上，可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|=|BF₂|=2a，
又△ABF₁的周长为8，所以|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|=|BF₂|=4a=8，即a=2，
由椭圆的对称性可得，△AF₁F₂为正三角形当且仅当A为椭圆短轴顶点，
则a=2c，即c=1，b²=a²-c²=3，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：若直线l的斜率不存在，即l：x=1，求得|AB|=3，|MN|=2$\sqrt{3}$，可得$\frac{|MN{|}^{2}}{|AB|}$=4；
若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
由y=kx代入椭圆方程，可得x=±$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，
|MN|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$=4$\sqrt{\frac{3（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
即有$\frac{|MN{|}^{2}}{|AB|}$=4．
综上可得$\frac{|MN{|}^{2}}{|AB|}$为定值4．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和对称性，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用联立椭圆和直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理不等运算能力，属于中档题．