Question

4．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|-x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．
（1）若a-3∈M，求实数a的取值范围；
（2）若[-1，1]⊆M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将x=a-3代入不等式，解关于a的不等式即可；（2）得到|x+a|＜3恒成立，即-3-x＜a＜3-x，当x∈[-1，1]时恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（1）依题意有：|2a-3|＜|a|-（a-3），
若a≥$\frac{3}{2}$，则2a-3＜3，∴$\frac{3}{2}$≤a＜3，
若0≤a＜$\frac{3}{2}$，则3-2a＜3，∴0＜a＜$\frac{3}{2}$，
若a≤0，则3-2a＜-a-（a-3），无解，
综上所述，a的取值范围为（0，3）；
（2）由题意可知，当x∈[-1，1]时，f（x）＜g（x）恒成立，
∴|x+a|＜3恒成立，
即-3-x＜a＜3-x，当x∈[-1，1]时恒成立，
∴-2＜a＜2．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．