Question

5．已知点M，N分别是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是$\sqrt{3}$，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用|MF|=a+c，|BN|=a-c，$\sqrt{3}$是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a-c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．
（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m²（4k²-3）=0，求出$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，0＜m²＜6，且m²≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．

解答 解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a-c，$\sqrt{3}$是|MF|与|FN|的等比中项．
∴（a+c）（a-c）=3，
∴b²=a²-c²=3．又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，解得a=2，c=1，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．
故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线和椭圆$\left\{{\begin{array}{l}{3{x^2}+4{y^2}-12=0}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$，消去y可得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由题意可知，△=64km-4（4k²+3）（4m²-12）=48（4k²-m²+3）＞0，
即4k²+3＞m²，
且${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}={k^2}$，
将y₁，y₂代入并整理得m²（4k²-3）=0，
因为m≠0，$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，0＜m²＜6，且m²≠3，
设d为点O到直线l的距离，则有$d=\frac{2|m|}{{\sqrt{7}}}$，$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{\sqrt{7}}}{3}\sqrt{18-3{m^2}}$，
所以${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{3}\sqrt{3{m^2}（6-{m^2}）}＜\sqrt{3}$，
所以三角形面积的取值范围为$（0，\sqrt{3}）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．