Question

2．如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，侧棱长为2，E、F、G分别为CB₁、CD₁、AB的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角B-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADD₁A₁的一个法向量$\overrightarrow{m}$，求出$\overrightarrow{FG}$，由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FG}=0$可得FG∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）分别求出平面BEF与平面EFC的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得二面角B-EF-C的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且底面边长为1，侧棱长为2，
分别以DA、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（1，1，0），F（0，$\frac{1}{2}$，1），E（$\frac{1}{2}$，1，1），G（1，$\frac{1}{2}$，0），
C（0，1，0），
∴平面ADD₁A₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$．
$\overrightarrow{FG}=（1，0，-1）$，
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FG}=0$，且FG?平面ADD₁A₁，
∴FG∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{FE}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{FB}=（1，\frac{1}{2}，-1）$，$\overrightarrow{FC}=（0，\frac{1}{2}，-1）$．
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FB}=x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=-2，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（2，-2，1）$，
平面EFC的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{FC}=\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取y=-2，得$\overrightarrow{{n}_{2}}=（2，-2，-1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{7}{3×3}=\frac{7}{9}$．
∴二面角B-EF-C的余弦值为$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查利用空间向量证明线面平行，考查利用平面向量的法向量求解二面角的余弦值，考查计算能力，是中档题．