Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对?x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x²+4的解集为（-∞，-1）．

Answer 1

分析 求出g（x）的图象关于点（-1，5）对称，令h（x）=g（x）-x²-4，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．

解答 解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以函数f（x）关于原点对称，
又g（x）=f（x+1）+5，
故g（x）的图象关于点（-1，5）对称，
令h（x）=g（x）-x²-4，
∴h′（x）=g′（x）-2x，
∵对?x∈R，g′（x）＞2x，
∴h（x）在R上是增函数，
又h（-1）=g（-1）-（-1）²-4=0，
∴g（x）＜x²+4的解集是（-∞，-1），
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查对称性，是一道中档题．