Question

12．已知函数f（x）=|2x-1|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜|x|+1；
（Ⅱ）若对于x，y∈R，有|x-y-1|≤$\frac{1}{3}$，|2y+1|≤$\frac{1}{6}$，求证：f（x）＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件|2x-1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．
（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x|+1，等价于|2x-1|＜|x|+1，
x≤0，不等式可化为-2x+1＜-x+1，即x＞0，不成立；
0$≤x≤\frac{1}{2}$，不等式可化为-2x+1＜x+1，即x＞0，∴0＜x≤$\frac{1}{2}$；
x＞$\frac{1}{2}$，不等式可化为2x-1＜x+1，即x＜2，∴$\frac{1}{2}$＜x＜2；
故不等式f（x）＜|x|+1的解集为（0，2）．
（Ⅱ）∵|x-y-1|≤$\frac{1}{3}$，|2y+1|≤$\frac{1}{6}$，
∴f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1）|≤|2（x-y-1）|+|（2y+1）|≤2•$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$＜1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．