Question

7．如图，平面SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，M为母线SB的中点，N为底面圆周上的一点，AB=4，SO=6．
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）若直线SO与MN所成的角为30°，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）由题意知SO⊥平面ABN，在RT△SOB中，由条件和勾股定理求出母线BS，由圆锥的侧面积公式求出该圆锥的侧面积；
（2）取OB的中点C，连接MC、NC，由条件和中位线定理可得MC∥SO、MC的长，由条件和线面角的定理求出∠NMC，在RT△MCN中由余弦函数求出MN的长．

解答 解：（1）由题意知，SO⊥平面ABN，
在RT△SOB中，OB=$\frac{1}{2}$AB=2，SO=6，
∴BS=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=$2\sqrt{10}$，
∴该圆锥的侧面积S=π•OB•BS=$4\sqrt{10}π$；
（2）取OB的中点C，连接MC、NC，
∵M为母线SB的中点，∴MC为△SOB的中位线，
∴MC∥SO，MC=$\frac{1}{2}$SO=3，
∵SO⊥平面ABN，∴MC⊥平面ABN，
∵NC?平面ABN，∴MC⊥NC，
∵直线SO与MN所成的角为30°，∴∠NMC=30°，
在RT△MCN中，$\frac{MC}{MN}=cos30°$，
∴MN=$\frac{MC}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆锥的侧面积公式，线面角的定理，以及线面垂直的定义，属于中档题．