Question

19．已知抛物线y²=4x截直线y=2x+m所得弦长$|{AB}|=\sqrt{15}$．
（1）求m的值；
（2）设P是x轴上的点，且△ABP的面积为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及弦长公式可知$|{AB}|=\sqrt{15}$．即可求得m的值；
（2）由直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得$d=\frac{{|{2a-1}|}}{{\sqrt{5}}}$，利用三角形的面积公式，即可求得点P的坐标．

解答 解：（1）将直线方程代入抛物线方程$\left\{{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，
整理得4x²+4（m-1）x+m²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=1-m，${x_1}{x_2}=\frac{m^2}{4}$．
于是$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\sqrt{1+{2^2}}\sqrt{{{（{1-m}）}^2}-4×\frac{m^2}{4}}$=$\sqrt{5（{1-2m}）}$．
因为$|{AB}|=\sqrt{15}$，
所以$\sqrt{5（{1-2m}）}$=$\sqrt{15}$，解得m=-1．
∴m的值-1；
（2）设P（a，0），P到直线AB的距离为d，
因为l_AB：2x-y+m=0，由点到直线的距离公式得$d=\frac{{|{2a-1}|}}{{\sqrt{5}}}$，
又${S_{△ABP}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d$，所以$d=\frac{{2{S_{△ABP}}}}{{|{AB}|}}$，
于是$\frac{{|{2a-1}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2×\frac{{9\sqrt{3}}}{2}}}{{\sqrt{15}}}$，
解得a=5或a=-4，
故点P的坐标为（5，0）或（-4，0）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．