Question

14．已知函数f（x）的图象与函数y=x³-3x²+2的图象关于点（$\frac{1}{2}$，0）对称，过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-3，-2）
• B． [-3，-2]
• C． （-∞，-3）∪（-2，+∞）
• D． （-∞，-3）∪[-2，+∞）

Answer 1

分析 由对称性可得（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1-x，-y），且在函数y=x³-3x²+2的图象上，代入可得f（x）的解析式，设出切点（m，n），求出f（x）的导数，可得切线的斜率和方程，代入点（1，t），化简整理可得t+3=3m²-2m³，
由g（m）=3m²-2m³，求出导数和单调区间、极值，由题意可得t+3=3m²-2m³只有一解，则t+3＞1或t+3＜0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）的图象与函数y=x³-3x²+2的图象关于点（$\frac{1}{2}$，0）对称，
设（x，y）为y=f（x）图象上的点，其对称点为（1-x，-y），且在函数y=x³-3x²+2的图象上，
可得-y=（1-x）³-3（1-x）²+2，即为y=f（x）=（x-1）³+3（1-x）²-2，
设切点为（m，n），则n=（m-1）³+3（1-m）²-2，
f（x）的导数为f′（x）=3（x-1）²+6（x-1）=3（x²-1），
可得切线的方程为y-n=3（m²-1）（x-m），
代入点（1，t），可得t-n=3（m²-1）（1-m），
化简可得t+3=3m²-2m³，
由g（m）=3m²-2m³，
g′（m）=6m-6m²=6m（1-m），
当0＜m＜1时，g′（m）＞0，g（m）递增；当m＜0或m＞1时，g′（m）＜0，g（m）递减．
则g（m）在m=0处取得极小值0，在m=1处取得极大值1，
由过点（1，t）仅能作曲线y=f（x）的一条切线，
可得t+3=3m²-2m³只有一解，
则t+3＞1或t+3＜0，
解得t＞-2或t＜-3．
故选：C．

点评 本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查转化思想的运用，以及化简整理能力，属于中档题．