Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点F₁（-1，0），C的离心率为e，b是3e和a的等比中项．
（1）求曲线C的方程；
（2）倾斜角为α的直线过原点O且与C交于A，B两点，倾斜角为β的直线过F₁且与C交于D，E两点，若α+β=π，求$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{DE}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：求得c，利用等差数列性质及椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）分类，当$α≠\frac{π}{2}$时，由α+β=π，知$β≠\frac{π}{2}$，且这两条直线的斜率互为相反数，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨AB丨，丨DE丨，即可求得$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{DE}|}}$的值；
①当$α=\frac{π}{2}$时，由α+β=π，知$β=\frac{π}{2}$，则l₁：x=0，l₂：x=-1，求得丨AB丨，丨DE丨，求得$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{DE}|}}$的值．

解答 解：（1）由题可知，椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点F₁（-1，0），c=1，b²=3ae=3×$\frac{c}{a}$×a=3c，
a²=b²+c²，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{b^2}=3}\\{{a^2}=4}\end{array}}\right.$，
所以椭圆的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设倾斜角为α的直线为l₁，倾斜角为β的直线l₂，
①当$α=\frac{π}{2}$时，由α+β=π，知$β=\frac{π}{2}$，则l₁：x=0，l₂：x=-1，
于是$|{AB}|=2b=2\sqrt{3}，|{DE}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，此时$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{DE}|}}=4$；
②当$α≠\frac{π}{2}$时，由α+β=π，知$β≠\frac{π}{2}$，且这两条直线的斜率互为相反数，
设l₁：y=kx，则l₂：y=-k（x+1），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，可得$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=\frac{12}{{4{k^2}+3}}}\\{{y^2}=\frac{{12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}\end{array}}\right.$，
则${|{AB}|^2}={（{2\sqrt{{x^2}+{y^2}}}）^2}=4（{\frac{{12+12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}）=\frac{{48（{{k^2}+1}）}}{{4{k^2}+3}}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-kx-k}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$可得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
由于△=（8k）²-4（4k²+3）（4k²-12）=4（36k²+36）＞0，
设l₂与椭圆的两个交点坐标依次为D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
于是${x_1}+{x_2}=-\frac{{8{k^2}}}{{4{k^2}+3}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
∴$|{DE}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}）^{2}-4（\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}）}$，
=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+3}$
$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{DE}|}}=\frac{{\frac{{48（{{k^2}+1}）}}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{12（{{k^2}+1}）}}{{4{k^2}+3}}}}=4$，
综上所述总有$\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{DE}|}}=4$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．