Question

17．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}，-1＜x≤1}\\{f（{x-2}），1＜x＜3}\end{array}}\right.$，函数f（x）在x=x₀处的切线为l，若$\frac{1}{6}＜{x_0}＜\frac{1}{5}$，则l与f（x）的图象的公共点个数为2或3．

Answer 1

分析 求导数，确定切线方程，即可得出结论．

解答 解：$\frac{1}{6}＜{x_0}＜\frac{1}{5}$，f′（x₀）=2x₀∈（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$），
x₀=$\frac{1}{6}$时，切线方程为y-$\frac{1}{36}$=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{1}{6}$），x=3时，y=$\frac{35}{36}$＜1，x=5时，y＞1，
此时，l与f（x）的图象有3个公共点；
x₀=$\frac{1}{5}$时，切线方程为y-$\frac{1}{25}$=$\frac{2}{5}$（x-$\frac{1}{5}$），x=3时，y=$\frac{28}{25}$＞1，
∴$\frac{1}{6}＜{x_0}＜\frac{1}{5}$，则l与f（x）的图象的公共点个数为2或3．
故答案为2或3．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．