Question

13．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}cos\frac{π}{2}（1-x），0≤x≤1\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，x＞1\end{array}\right.$，若函数g（x）=5[f（x）]²-（5a+6）f（x）+6a（a∈R）有且仅有6个不同的零点，则实数a的取值范围（　　）

• A． $（0，1]∪\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$
• B． $（0，\frac{3}{2}]$
• C． $（0，1）∪\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$
• D． $（0，\frac{3}{2}）∪\left\{0\right\}$

Answer 1

分析 由g（x）=0，可得f（x）=$\frac{6}{5}$或f（x）=a，利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}cos\frac{π}{2}（1-x），0≤x≤1\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，x＞1\end{array}\right.$，可得f（x）=$\frac{6}{5}$有4个零点，则f（x）=a有2个不同的零点，即可得出结论．

解答 解：由g（x）=0，可得f（x）=$\frac{6}{5}$或f（x）=a，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}cos\frac{π}{2}（1-x），0≤x≤1\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，x＞1\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{6}{5}$有4个零点，则f（x）=a有2个不同的零点，
∵$（\frac{1}{2}）^{x}+1＞1$，∴0＜a＜1，
a=$\frac{3}{2}$时，f（x）=a有2个不同的零点，即±1，
故选A．

点评 本题考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．