Question

11．设集合L={l|直线l与直线y=2x相交，且以交点的横坐标为斜率}，若点（-2，2）到集合L中直线l的距离最小，则直线l的方程是y=0．

Answer 1

分析 设直线l与直线y=2x相交于E（t，2t）．可得直线l的方程为：y-2t=t（x-t）．利用点到直线的距离公式可得点（-2，2）到直线l的距离d．通过变形利用基本不等式即可得出结论．

解答 解：设直线l与直线y=2x相交于E（t，2t）．
则直线l的方程为：y-2t=t（x-t），化为tx-y+2t-t²=0．
点（-2，2）到直线l的距离d=$\frac{|-2t-2+2t-{t}^{2}|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\sqrt{{t}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$≥2，当且仅当t=0时取等号．
∴直线l的方程是y=0．
故答案为：y=0．

点评 本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．