Question

2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为y=3+$\sqrt{-{x}^{2}+8x-15}$．
（1）写出曲线C的一个参数方程；
（2）在曲线C上取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）采用平方法，化简曲线C，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得曲线C的一个参数方程；
（2）由（1）可知曲线C，曲线C上取一点P的参数坐标，利用三角函数的有界限求解矩形OAPB的周长的取值范围

解答 解：（1）曲线C的方程为y=3+$\sqrt{-{x}^{2}+8x-15}$．
化简可得：（y-3）²=-x²+8x-15，（y≥3，3≤x≤5）
即：x²+y²-8x-6y+24=0，
可知圆心为（4，3），半径r=1，
曲线C的一个参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+cosθ}\\{y=3+sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）
（2）由（1）可知曲线C圆心为（4，3），半径r=1，（y≥3，3≤x≤5）的半圆．
设一点P的参数坐标为（4+cosθ，3+sinθ）（0≤θ≤π），
过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，
∴|PA|=3+sinθ，|PB|=4+cosθ
∴矩形OAPB的周长l=2|PA|+2|PB|=2|3+sinθ+4+cosθ|=2[7+$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）]，（0≤θ≤π）
当θ=$\frac{π}{4}$时，周长l最大为14+2$\sqrt{2}$．
当θ=π时，周长l最小为12．
故得矩形OAPB的周长的取值范围是[12，$14+2\sqrt{2}$]

点评 本题考查了普通方程化参数方程和利用参数坐标转化为三角函数的有界限问题求解范围问题，属于中档题．