Question

18．在四棱锥P-ABCD中，△ABC，△ACD都为等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=$\sqrt{2}$，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角C-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BE⊥BC，利用BC∥AD，可得BE⊥AD，结合BE⊥PA，证明BE⊥平面PAD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、PAD的一个法向量，即可求二面角C-PA-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵△ABC与△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACD=90°，
∴∠ACB=∠DAC=45°，$AC=\sqrt{2}BC$，∴BC∥AD，$AB=BC=\sqrt{2}$，
∵E为PA的中点，且$AB=PB=\sqrt{2}$，∴BE⊥PA，
在△PBC中，PC²=PB²+BC²，∴BC⊥PB．
又∵BC⊥AB，且PB∩AB=B，∴BC⊥平面PAB，
∵BE?平面PAB，∴BE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴BE⊥AD，
又∵PA∩AD=A，∴BE⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可以BC，AB，BP两两垂直，以B为原点，BC，AB，BP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则$A（{0，\sqrt{2}，0}）$，B（0，0，0），$C（{\sqrt{2}，0，0}）$，$P（{0，0，\sqrt{2}}）$，则$\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0}）$，$\overrightarrow{AP}=（{0，-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$．
设平面PAC的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AP}=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y-z=0\end{array}\right.$∴取$\overrightarrow m=（{1，1，1}）$
又由（Ⅰ）知BE⊥平面PAD，故$\overrightarrow{BE}=（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$为平面PAD的一个法向量，
∴$cos＜\overrightarrow m$，$\overrightarrow{BE}＞=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
故二面角C-PA-D的余弦值$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面角，考查向量方法的运用，正确求出平面的法向量是关键．