Question

1．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，四边形BCC₁B₁为矩形．
（1）求证△A₁BC为等腰三角形；
（2）若$∠{A_1}BC=\frac{π}{3}$，AB⊥AC，平面A₁BC⊥平面ABC，求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中点D，连接A₁D，AD，则AD⊥BC，证明BC⊥平面A₁AD，可得BC⊥A₁D，即可证明△A₁BC为等腰三角形；
（2）建立如图所示的坐标系，利用向量方法求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

解答 （1）证明：取BC中点D，连接A₁D，AD，则AD⊥BC，
∵四边形BCC₁B₁为矩形，∴BC⊥A₁A，
∵AD∩A₁A=A，∴BC⊥平面A₁AD，
∴BC⊥A₁D，
∵BD=DC，
∴△A₁BC为等腰三角形；
（2）解：由题意，A₁D⊥平面ABC，则建立如图所示的坐标系，设AB=2，则C（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，$\sqrt{6}$），∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
设平面A₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∵平面A₁BC的一个法向量为（0，1，0），则二面角B-A₁C-C₁的余弦值=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+3+1}•1}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角余弦值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．