Question

19．已知点A，B是抛物线y²=4x上的两点，点M（3，2）是线段AB的中点，则|AB|的值为（　　）

• A． 4
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 8$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用中点坐标公式及作差法，求得直线AB的斜率公式，求得直线直线AB的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得|AB|的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，由中点坐标公式可知：y₁+y₂=4，
两式相减可得，（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），
则直线AB的斜率k，k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
直线AB的方程为y-2=x-3即y=x-1，
联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，x²-6x+1=0，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{6}^{2}-4}$=8，
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．