Question

4．已知点M（x，y）是平面直角坐标系中的动点，若A（-4，0），B（-1，0），且△ABM中|MA|=2|MB|．
（Ⅰ） 求点M的轨迹C的方程及求△ABM的周长的取值范围；
（Ⅱ） 直线MB与轨迹C的另一交点为M'，求$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用直接法点M的轨迹C的方程；利用特殊位置，即可求△ABM的周长的取值范围；
（Ⅱ） 直线MB与轨迹C的另一交点为M'，$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$=|$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$|=t，利用韦达定理，即可求$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），则由题意可得（x+4）²+y²=4（x+1）²+4y²，
化简可得x²+y²=4．
当M在（-2，0）时，|MA|+|MB|=3，M在（2，0）时，|MA|+|MB|=9，
∴△ABM的周长的取值范围是（6，12）；
（Ⅱ） 设直线MB的方程为x=my-1，代入x²+y²=4，整理可得（m²+1）y²-2my-3=0，
设M（x₁，y₁），M′（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+1}$
$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$=|$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$|=t，则y₁=-ty₂，
联立3个方程可得$\frac{t}{（1-t）^{2}}$=$\frac{3}{4}$（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$），
∴$\frac{t}{（1-t）^{2}}$＞$\frac{3}{4}$，解得$\frac{1}{3}＜t＜3$，
∴$\frac{{S}_{△AMB}}{{S}_{△{AM}^{′}B}}$的取值范围是（$\frac{1}{3}$，3）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．