Question

11．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO=$\sqrt{2}$，AB=2．求证：
（1）求棱锥P-ABCD体积；
（2）平面PAC⊥平面BDE；
（3）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）由PO⊥面ABCD，PO=$\sqrt{2}$，AB=2，能求出棱锥P-ABCD体积．
（2）推导出PO⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面BDE．
（3）由EO⊥BD，CO⊥BD，知∠EOC为二面角E-BD-C的平面角，由此能示出二面角E-BD-C的大小．

解答 解：（1）∵PO⊥面ABCD，PO=$\sqrt{2}$，AB=2，ABCD是正方形，
∴棱锥P-ABCD体积V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×4$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
证明：（2）∵PO⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC，
∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
解：（3）∵EO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠EOC为二面角E-BD-C的平面角，
作EF∥PO，交AC于F，EF=$\frac{1}{2}PO$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AC=2$\sqrt{2}$，FO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠EOC=45°，
所以二面角E-BD-C为45°．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．