Question

5．已知数列{a_n}满足na_n+2-（n+2）a_n=λ（n²+2n），其中a₁=1，a₂=2，若a_n＜a_n+1对?n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．

Answer 1

分析 把已知递推式变形，可得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，分类求其通项公式，代入a_n＜a_n+1，分离参数λ求解．

解答 解：由na_n+2-（n+2）a_n=λ（n²+2n）=λn（n+2），
得$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}-\frac{{a}_{n}}{n}=λ$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，
∵a₁=1，a₂=2，
∴当n为奇数时，$\frac{{a}_{n}}{n}=1+λ（\frac{n+1}{2}-1）=\frac{n-1}{2}λ+1$，
∴${a}_{n}=\frac{{n}^{2}-n}{2}λ+n$；
当n为偶数时，$\frac{{a}_{n}}{n}=1+λ（\frac{n}{2}-1）=\frac{n-2}{2}λ+1$，
∴${a}_{n}=\frac{{n}^{2}-2n}{2}λ+n$．
当n为奇数时，由a_n＜a_n+1，得$\frac{{n}^{2}-n}{2}λ+n$＜$\frac{（n+1）^{2}-2（n+1）}{2}λ+n+1$，
即λ（n-1）＞-2．
若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞$-\frac{2}{n-1}$，∴λ≥0；
当n为偶数时，由a_n＜a_n+1，得$\frac{{n}^{2}-2n}{2}λ+n$＜$\frac{（n+1）^{2}-（n+1）}{2}λ+n+1$，
即3nλ＞-2，∴λ＞$-\frac{2}{3n}$，即λ≥0．
综上，λ的取值范围为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．

点评 本题考查数列递推式，考查了分类求解数列的通项公式，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．