Question

10．定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x∈[0，1）\\-{（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}}，x∈[1，2）\end{array}\right.$，若x∈[-4，-2）时，$f（x）≥\frac{1}{4}-\frac{1}{2t}$恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{2}{5}]$
• B． $（0，\frac{2}{3}]$
• C． （0，1]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[-4，-2]上的最小值即可得到结论．

解答 解：当x∈[0，2）时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x∈[0，1）\\-{（\frac{1}{2}）^{|x-\frac{3}{2}|}}，x∈[1，2）\end{array}\right.$∈[-$\frac{1}{4}$，0]∪[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为f（$\frac{3}{2}$）=-1，
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2），
当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为f（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$
若x∈[-4，-2]时，$f（x）≥\frac{1}{4}-\frac{1}{2t}$恒成立，
∴-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{4}-\frac{1}{2t}$恒成立．
即$\frac{t-1}{2t}$≤0，则0＜t≤1，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大．