Question

1．已知点P（x，y）的坐标满足$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y＞x}\\{y＜2x+1}\end{array}\right.$，则$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范围为（-$\sqrt{2}$，1]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OP}$的夹角为θ，可得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}•$$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$，再由θ的范围求得cosθ的范围，则答案可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y＞x}\\{y＜2x+1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

设A（1，1），P（x，y）为可行域内的一动点，
向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OP}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=x+y$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OP}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$．
∵当P运动到B时，θ有最小值$\frac{π}{4}$，当P运动到C时，θ有最大值π，
∴-1＜cosθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即-1＜$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$-\sqrt{2}$＜$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤1．
∴$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范围为（-$\sqrt{2}$，1]．
故答案为：（-$\sqrt{2}$，1]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．