Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点E是PD的中点，AB=2，PA=3．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：CD⊥AE；
（3）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB∥平面EAC．
（2）求出$\overrightarrow{CD}=（-2，0，0），\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{3}{2}）$，利用向量法能证明CD⊥AE．
（3）求出平面CAD的法向量和平面EAC的法向量，利用向量法能求出二面角C-PD-A的余弦值．

解答 证明：（1）如图，由已知得AB、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，3），
∵点E是PD的中点，∴点E的坐标为$E（0，1，\frac{3}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AC}=（2，2，0），\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{3}{2}）$．
设平面EAC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y+\frac{3}{2}z=0}\end{array}}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow n=（1，-1，\frac{2}{3}）$，
又$\overrightarrow{BP}=（-2，0，3）$，
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow n=-2+0+2=0$，∴$\overrightarrow{BP}⊥\overrightarrow n$，
∵PB?平面EAC，∴PB∥平面EAC．
（2）∵$\overrightarrow{CD}=（-2，0，0），\overrightarrow{AE}=（0，1，\frac{3}{2}）$，
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AE}=-2×0+0×1+0×\frac{3}{2}=0$，
∴CD⊥AE．
解：（3）∵平面CAD的法向量为$\overrightarrow m=（0，0，3）$，
平面EAC的法向量为$\overrightarrow n=（1，-1，\frac{2}{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{3×\sqrt{1+1+\frac{4}{9}}}}=\frac{{\sqrt{22}}}{11}$，
由图形知二面角C-PD-A的平面是锐角，
∴二面角C-PD-A的余弦值为$\frac{{\sqrt{22}}}{11}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．