Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且$PC=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明CD⊥PA，BC⊥PA．即可得 PA⊥平面ABCD．  
（Ⅱ）    分别以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
求出平面PDC的一个法向量、平面PDB的一个法向量即可．

解答 解：（1）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
因为CD⊥PD，AD∩PD=D，
所以 CD⊥平面PAD．   因为 PA?平面PAD，
所以 CD⊥PA．   同理，BC⊥PA．因为 BC∩CD=C，
所以 PA⊥平面ABCD．                           …（5分）
（Ⅱ）解：连接AC，由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD．
因为AC?平面ABCD，所以PA⊥AC．
因为PC=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{2}$，所以PA=1．
分别以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
由题意可得：B（0，1，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）．  …（6分）
所以$\overrightarrow{DC}=（0，1，0）$，$\overrightarrow{DP}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{BD}=（1，-1，0）$，$\overrightarrow{DP}=（0，-1，1）$．
设平面PDC的一个法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-x+z=0}\end{array}\right.$ 即 令x=1，得z=1．
所以$\overrightarrow{m}=（1，0，1）$．                                     …（8分）
同理可求：平面PDB的一个法向量$\overrightarrow{n}=（1，1，1）$．          …（10分）
所以cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
所以二面角B-PD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．                …（12分）

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．