Question

16．若直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，当△AOB（O是坐标原点）的面积为$\frac{1}{2}$，a+b的最大值为2．

Answer 1

分析 利用△AOB（O是坐标原点）的面积为$\frac{1}{2}$，求出OA⊥OB，可得圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²+b²=2，利用（a+b）²≤2（a²+b²）=4，即可得出结论．

解答 解：由题意，△AOB（O是坐标原点）的面积为$\frac{1}{2}×1×1×sin∠AOB$=$\frac{1}{2}$，∴sin∠AOB=1，
∴∠AOB=90°，∴OA⊥OB，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²+b²=2，
∴（a+b）²≤2（a²+b²）=4，
∴a+b≤2，即a+b的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．