Question

3．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PA长的取值范围．

解答 解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，1，1），B（0，2，0），C（0，0，0），
设Q（q，0，0），$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$=（0，λ，-λ），
则$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CQ}-（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}）$=（q，0，0）-（0，1，1）-（0，λ，-λ）=（q，-1-λ，λ-1），
∵异面直线PQ与AC成30°的角，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PQ}|}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{PQ}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{{q}^{2}+（1+λ）^{2}+（λ-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{q}^{2}+2{λ}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴q²+2λ²+2=$\frac{8}{3}$，∴${q}^{2}=\frac{2}{3}-2{λ}^{2}∈[0，4]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}-2{λ}^{2}≥0}\\{\frac{2}{3}-2{λ}^{2}≤4}\end{array}\right.$，解得0$≤λ≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{2}λ$∈[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
∴线段PA长的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．
故选：B．

点评 本题考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．