Question

8．四面体ABCD中∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，AB=2，AC=3，AD=4，则四面体ABCD的体积V=（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，通过分割补形，求出B到底面ACD的距离，代入体积公式求解．

解答 解：如图，

在AC上取E，使AE=2，在AD上取F，使AF=2，连接BE、BF、EF，
则四面体B-AEF为正四面体，过B作BO⊥平面AEF，垂足为O，
连接AO并延长，交EF于G，则AG=$\sqrt{3}$，AO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BO=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}AC×AD×sin60°=\frac{1}{2}×3×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$3\sqrt{3}$．
∴${V}_{B-ACD}=\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．