Question

19．如图边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是CC₁，B₁C₁的中点，
（Ⅰ）证明：A₁N∥平面AMD₁；
（Ⅱ）求二面角M-AD₁-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD₁为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁N∥平面AMD₁．
（Ⅱ）求出平面ADD₁的一个法向量和平面AMD₁的法向量，利用向量法能求出二面角M-AD₁-D的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD₁为轴建立如图直角坐标系．…（1分）
则A₁（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D₁（0，0，2）．
$\overrightarrow{{A_1}N}=（-1，2，0），\overrightarrow{AM}=（-2，2，1），\overrightarrow{A{D_1}}=（-2，0，2）$．…（2分）
设平面AMD₁的法向量是$\overrightarrow n=（x，y，z）$．
则$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y+z=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$．…（3分）取x=1，得$\overrightarrow n=（1，\frac{1}{2}，1）$．…（4分）
所以$\overrightarrow{{A_1}N}•\overrightarrow n=（-1）×1+2×\frac{1}{2}=0$，即$\overrightarrow{{A_1}N}⊥\overrightarrow n$．…（5分）
又A₁N?平面AMD₁．∴A₁N∥平面AMD₁．…（6分）
解：（Ⅱ）平面ADD₁的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，1，0）$，…（8分）
平面AMD₁的法向量是$\overrightarrow n=（1，\frac{1}{2}，1）$．
由（Ⅰ）得$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow m|}=\frac{{\frac{1}{2}}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}+{{（\frac{1}{2}）}^2}}}}=\frac{1}{3}$．…（11分）
由图形得二面角M-AD₁-D的平面角是锐角，
所以二面角M-AD₁-D的余弦值是$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．