Question

10．在△ABC中，sinA，ainB，sinC成等比数列，则当cosB的值最小时，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据等比数列与正弦、余弦定理，利用基本不等式求出cosB的最小值，
得出此时A=B=C=$\frac{π}{3}$，从而求出$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

解答 解：△ABC中，sinA，ainB，sinC成等比数列，
∴sin²B=sinAsinC，
∴b²=ac；
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
当且仅当a=c时取“=”；
∴cosB的最小值是$\frac{1}{2}$，且a=c；
∴A=C，
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理及等比数列的性质与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．