Question

20．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，O为坐标原点，M为长轴的一个端点，若在椭圆上存在点N，使ON⊥MN，则离心率e的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$

Answer 1

分析 由ON⊥MN，可知$\overrightarrow{ON}$•$\overrightarrow{MN}$=x（x-a）+y²=0，代入椭圆方程，求得b和c的关系，利用离心率公式和离心率取值范围，即可求得e的取值范围．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，焦点在x轴上，设M（a，0），N（x，y），则$\overrightarrow{ON}$=（x，y），$\overrightarrow{MN}$=（x-a，y）．
由ON⊥MN，
∴$\overrightarrow{ON}$•$\overrightarrow{MN}$=x（x-a）+y²=0
由椭圆方程得y²=b²-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$x²代入得c²x²-a³x+a²b²=0．
解得：x=a，或x=$\frac{a{b}^{2}}{{c}^{2}}$，
由题意0＜$\frac{a{b}^{2}}{{c}^{2}}$＜a．
∴b²＜c²．
∴a²-c²＜c²．
解得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$＞$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
离心率e的取值范围为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查向量与圆锥关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．