Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-c）²+y²=4a²截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（x-c）²+y²=4a²截得弦长为2b，结合勾股定理，推出a，b，c关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（x-c）²+y²=4a²的圆心到双曲线的渐近线的距离为：$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=b$，
∵渐近线被圆（x-c）²+y²=4a²截得的弦长为：2b，
∴b²+b²=4a²，
∴b²=2a²，即c²=3a²，
∴e=$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，圆与双曲线以及直线的位置关系的应用，解题时要注意公式的合理运用．